求教一道数学题

[qinjiannet]

有 9 个数字，其中 2 个数为“目标数”。给 5 次机会，每次允许猜 2 个数，每次猜测会被告知猜对的数字个数。

求 5 次机会用完， 2 个“目标数”全部找出的概率。

并请简述过程。

题目有歧义，可以有两种理解：

1) 在 5 次猜测中的某 1 次，猜对的“目标数”个数应为 2 个。

2) 在 5 次机会用完时，可以猜对或者明确推断出 2 个目标数。

这里取第一种理解。

[Hsinchu]

用最优方案，算出 5 次仍然未能找到目标数的概率。
我的方案是，每次取两个数，不重复，取 4 次。没能找出目标数的情况是两种，两组各对一个，一组对一个。一组对一个的情况说明剩余一个是对的，取那个对的和不确定的两个中的一个，一定能确认出两个对的数字。两组各对一个的情况下， a1 和 a2 一组， b1 和 b2 一组，取 a1 和 b1 ，对的数量是 0 和 2 的话都能确定目标数，否则取 a1 和 b2 ，肯定能确定目标数。
方案说好了，来看 5 次不够用的情况，首先要是找到两组各对 1 个，并且是花掉了 4 次机会，然后是 a1 和 b1 对的数量是 1 。也就是第四组里有一个，前三组里有一个。(2/9)*(6/9)*2*(1/2)=4/27.
5 次以内的概率是 23/27 。

[Baymaxbowen]

好像当初学 c ＋＋的时候做过这个，

[qinjiannet]

@Hsinchu 是否是这样：

数字 1-9 按照 1 2 ， 3 4 ， 5 6 ， 7 8 的顺序猜， 5 次不中的情况：

情况一： 1-8 中有一个数，另一个数是 9 ，猜不中的概率：(2/9) * (1/2) = 1/9
情况二： 7-8 中有一个数， 1-6 中有一个数，猜不中概率：(12/36) * (1/2) = 1/6

5 次可以猜中的概率为 13 / 18

[qinjiannet]

@Hsinchu 上面的答案有误，以这个为准：

数字 1-9 按照 1 2 ， 3 4 ， 5 6 ， 7 8 的顺序猜， 5 次不中的情况：

情况一： 1-8 中有一个数，另一个数是 9 ，猜不中的概率：(8/36) * (1/2) = 1/9
情况二： 7-8 中有一个数， 1-6 中有一个数，猜不中概率：(12/36) * (3/4) = 1/4
情况三： 1-4 中有一个数， 5-6 中有一个数，猜不中概率：(8/36) * (1/2) = 1/9

5 次可以猜中的概率为 19 / 36

[lithium4010]

答案要是不是 1 就没意思

[Hsinchu]

@qinjiannet 我觉得你有个问题没意识到，找到目标数并不是说其中一次猜的两个数就得是目标数，你只要能通过推理确定目标数就够了。或者你没弄懂我的方案。你的情况一 5 次怎么不够，用掉 4 次确定 9 号是目标以及另一个目标在某两个中，在取 9 号和两个中的一个，不管是对 1 个还是两个都能确定目标。情况 2 下猜不中概率是 1/2 ，情况 2 发生的概率是 2*12/81 ，所以情况 2 猜不中概率是 4/27 。情况 3 下 5 次也是够的。

[qinjiannet]

@Hsinchu 题目的确有歧义，已经追加了一个说明。另外如果按照你的这种理解，是不是应该给出下面的答案：

1-6 中一个数， 7-8 中一个数， 12/36 * 1/2 = 1/6
1-8 中有一个数，另一个数是 9 (8/36) * (1/2) = 1/9

5 次可以猜中的概率为 2 / 3

[qinjiannet]

@Hsinchu 哦， 1-8 中有一个数，另一个数是 9 可以明确得出结论。

那么无法推断的情况就只剩下一种： 1-6 中一个数， 7-8 中一个数， 12/36 * 1/2 = 1/6

答案应该是 5/6

情况二发生的概率应该是(6 * 2) / C[9, 2] = 12 / 36 = 1 / 3

情况二无法推断的概率是 2 / 4 = 1 / 2

[qinjiannet]

@Hsinchu 第二次更正：

问题 1) 在 5 次猜测中的某 1 次，猜对的“目标数”个数应为 2 个。

情况三： 1-4 中有一个数， 5-6 中有一个数，猜不中的概率： 8/36 * 1/4 = 1/18

综合 3 种情况，猜中的概率应该是 1 - (1/9 + 1/4 + 1/18) = 7/12