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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

请问什么是概率的对称性。

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  •   huzhikuizainali · 158 天前 · 559 次点击
    这是一个创建于 158 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    7Sasuke7L
        1
    7Sasuke7L  
       158 天前 via iPhone
    我只回答第一个和第二个问题。
    第一个问题中,什么是对称性,这里的对称不是你理解的几何上的对称,而是元素的无序性。比如:a^2+b^2=c^2 ,这是勾股定理,此时的 a ,b 本身是没有区别的,本题中,第一次和第 i 次转动轮盘也是没区别的。

    第二个问题:假如有 2 次转动轮盘比大小,就好比( 0 ,1 )中任取 2 个不想等的数字,第二个数字小的概率是 1/2 ,这不是很显然吗?你举例子说假如第一次是 0.000000001 ,第二次比这个数字小的概率显然没有 1/2 ,对,如果第一次真是这样,那第二次比第一次小的概率确实不是 1/2 ,但是更改了前提,原题中可并没有假设第一次是几,而 1/2 这个概率也是在不知道 2 次的结果下的概率。如果知道了第一次是几,那么第二次比它小的概率是可以用几何概型的知识来计算。
    huzhikuizainali
        2
    huzhikuizainali  
    OP
       158 天前
    @7Sasuke7L 谢谢回复。
    第一个问题,我理解了。
    第二个问题。我受如下思路影响,既连续变量的单点概率为 0 ,讨论连续概率都是讨论面积或长度。基于此。假设第一个选手转动得到的数字是 0.5 ,那么事件 A:第二个选手转出的数字比第一个选手小。事件 B:第二个选手转出的数字比第一个选手大。那么 P(A)=P(B)=1/2 。因为 A 的长度 0-0.5=B 的长度 0.5-1=0.5 。但是如果第一个选手转出的数字不是 0.5 ,那么 A 对应的长度和 B 对应的长度便不再相等。因此 P(A)不等于 P(B) 两者都不等于 0.5 了。
    我是陷入什么误区了么?
    lance6716
        3
    lance6716  
       158 天前 via Android
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    lance6716
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    lance6716  
       158 天前 via Android
    7Sasuke7L
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    7Sasuke7L  
       158 天前 via iPhone
    @huzhikuizainali 你陷入的误区就是你必须假定第一次是一个具体的数字,事实上第一次不可能是 0.5 或者某个具体的数字
    huzhikuizainali
        6
    huzhikuizainali  
    OP
       157 天前
    @7Sasuke7L 谢谢回复。下面为对#5 的回答。

    假设第一个选手已经转出了一个数字,此时是不是已经满足“第一次是一个具体的数字”了呢?我认为应该满足。第一个选手已经转完了。必然有一个确定的结果产生。

    现在轮到第二个选手转。按照此题答案的推导第二个选手留下(或者说胜出)的概率是 0.5 。然后我头脑中两种观点又开始打架了。
    7Sasuke7L
        7
    7Sasuke7L  
       156 天前 via iPhone
    @huzhikuizainali
    你的想法本身是对的,但是和题目说的概率不是一回事儿。
    题目的概率问题可以理解为,a ,b 是 2 个( 0 ,1 )范围内的不相等的 2 个数字,a<b 的概率;
    你的理解是条件概率,就是在 a 是某个数字的情况下,b 大于 a 的概率。两个概率是不一样的。
    就好比现在你去抽奖,100 个人,只有 1 个中奖名额,你是第 100 个抽奖的人,你中奖的概率是 1/100 ,但是假定第一个人确定没中,你中奖的概率是 1/99 。

    1/100 和 1/99 都是正确答案,因为不是一个题
    cosette
        8
    cosette  
       156 天前
    针对第 2 个疑问,在思考问题的时候一定要注意到你提出的某个概率 P 所对应的“概率空间”究竟是什么,用你在另一个帖子里的原文来说,“The probability law, which assigns to a set A of possible outcomes(also called an event ) ……”概率 P 的指定永远有一个确定的概率空间,通俗的讲就是有一个确定的 “a set A of possible outcomes”,那么问题来了,当你假设第一个选手转出特定数字,此后第二个选手该如何如何的时候,概率空间已经不是Ω,而是 A:“转两次转盘且第一次为 x”,即你所问的不是 P(N=2),而是条件概率 P(N=2|A),A:第一次转出 x 。

    如果你不是只想学习几个计算概率的公式,而是希望较为系统的学习概率的话,建议从一本公理化概率论的书籍入手,虽然使用集合论的工具显得很抽象,但是能够让你在处理概率问题时更加的严格。
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