关于向量积的方向，不是特别明白

[James369]

2 个向量叉乘 axb ，其结果有一个方向，不知道这个方向是天生的特性，还是人为的规定，有点不明白。

如果是人为规定的，那么怎么正好可以做各种代数运算（比如交换律，分配律等），还可以在解析几何中应用得顺风顺水，仿佛与身俱来的能力。

就好比如说：我自称自己是孙悟空，突然我就有了 72 变一样，让人觉得有点匪夷所思。所以我反而觉得这个方向是推导出来的。

同样的道理，对于向量的“加号”，a=xi+yj ，这个加号也有类似的疑问，它是传统加法吗，怎么可以像传统加法一样到处用？仿佛与身俱来的能力。

大家说得挺好的，我想我可能没有表达清楚，我的问题在于：
1. 对于传统标量，其加法和乘法也是记作：+, x ，而向量怎么也可以用它一模一样的符号呢？ 难道他们是等价的，有什么理论根基？（我的意思是说本来标量、向量本来是两个体系，现在却能完美的融合在一起）
2. 由第 1 点可知，向量的四则运算，是包含了标量的四则运算，并且两者可以混合使用，仿佛在说标量只是向量的一个特例，是它的一个子集。

既然说到这里，那对于虚数 a+bi ，这个+号又是怎么回事（能否参与标量和向量的运算），能不能认为虚数也是向量的一种特例？

有一些思路了，#7 #11 给出了一些线索，我查了一下答案可能就在抽象代数，不过有点超纲了。

我稍微看了一下抽象代数的介绍，仿佛就像软件中定义的一些通用接口和方法协议，而那些实数、虚数、向量的计算仿佛就像具体类的实现。挺有意思的。

[villivateur]

数学工具的发明源于自然物理现象需要解释，比如微积分就是为了计算各种力学原理。所以发明出来的数学工具，就算是认为规定的，也一定是有各种意义的

[yyfearth]

整个数学大厦 都是人为规定的
自然数算数是人们根据自然法则归纳总结出来 你可以看作为了方便生活 人为设定出来的一个“游戏”
这个游戏有一堆的物品 以及 一堆操作物品的规则
“算数”游戏就是 一堆数字 可以是自然数 小数 分数 无理数 正负数 以及 加减乘除等 的游戏规则

“各种代数运算”是这个“向量游戏”的规则
不是“自称自己是孙悟空，突然我就有了 72 变”
而是“假如你有了 72 变 以及孙悟空的其他所有特点” 你就可以称为“孙悟空”

向量的“加号” 其实就是一个叫做“向量”的游戏的里面的一个规则
他有点类似“传统加法” 但是不是“传统加法” 你可以理解人们因为习惯或者方便 给这个规则取了一个+的名字而已
因为你“传统加法”的两边是“数” 不是向量 另外他们的实际运算规则也不一样

除此之外一个更加简单的概念就是 逻辑运算 只有 真 /假 两个值 有 与 /或 /非 的基本运算规则

[SiLenceControL]

我觉得你对线性代数的基本知识较为模糊才会有这样的想法

X 积是两个向量（二维）构成的面积，同时在三维中是一个长度等同于那个二维面积并垂直于最开始二维向量所构成的平面，方向用右手定则便可得到

[GuuJiang]

你把这个方向反一下，仍然可以得到一个自洽的体系，在这个体系里，各种代数运算(在新的规则下)仍然成立，只不过一个是右手系，一个是左手系而已

[yehoshua]

数学和物理语言是对这个世界的描述，把整个世界用数字化表达出来并且加以推广，同时用世界上的东西做以验证。我认为编程语言同样也是对这个世界的描述。

[skywalkerw]

建议看 3Blue1Brown 关于线性代数的视频，从几何角度可视化解释的挺好的。数学问题来 v 站还不如去 B 站，程序员数学有几个好的 0.0

[paramagnetic]

因为这些运算符号都是重载的，向量加标量，向量“乘”向量，向量乘标量，都有分别的定义，只是概念上比较一致，所以都用长得一样的运算符来表示。

[sillydaddy]

在我还是一个小学生的时候，我也有一个疑问：

为什么长 a 宽 b 的矩形，面积就是 axb ，为什么不能是 a+b 呢？为什么这么巧呢？谁规定的呢？

[dddd1919]

买个塞尔达，用时间静止一个大铁球，然后用武器砸铁球，每砸一次就是做一次向量叉乘，最后那个飞出去的大箭头就是所有叉乘的结果，玩几遍就明白了

[Mithril]

因为我们把具有类似性质的运算叫做乘法。
加法也是类似，我们把满足交换律，结合律等等这种特性的运算叫做加法，所以它可以到处用。

[JamesMackerel]

@Mithril 然后就可以快进到抽象代数……各种群和它们的性质。真是优雅。

[andyJado]

我说两句嗷:

你能理解向量有方向吧?

那你能理解平面是一个更高维的向量不?

[Mithril]

@JamesMackerel 你看 OP 补充的内容，他问的就是这个啊。。。

[James369]

@andyJado
我不能理解向量有方向，我觉得向量就是多维的标量，毫不相干的几组数据。
所以我对向量叉乘很困惑，特别是叉乘之后的方向。

[Mithril]

@James369 你这是线性代数的基本概念都没搞懂，可以看看 B 站的这套视频
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E

[monsterX]

@James369 我记得大学有一门课《线性代数》，可以很好的解答你的疑惑

[LiubaiQ]

https://kdocs.cn/l/cnTVs0GUo561 ，7 天后过期。

高数同济版下册第一章的第一、二节，认真看完应该可以解决你的问题：
1.向量是一种规定，为了解决特定问题而引入的，开篇就提到了；
2.运算律都有证明，可以看一下；
3.各种运算、概念的定义，同理，也是为了解决特定问题，基本都有提到，如果你关注的是这种枝节，需要多留意下，篇幅一般不长，容易错过；

其实碰到整不明白脉络不要紧，说明积累还是不够，继续学，继续练，重复的多了相关的神经元才多才够敏感，知识之间的联系更容易去洞悉（神经元纯属瞎猜，概不负责！哈哈哈，虽然我觉得我符合这个规律）。

[LiubaiQ]

@skywalkerw 数学节点还是有大佬的，只能说没投对节点。

[Jooooooooo]

你学学群论会发现更有意思.

[LiubaiQ]

线性代数只是把向量当工具，教材基本不会介绍向量概念的。。。为什么都推荐看线代呢，越看越糊涂。。

[ipwx]

数学都是人为规定的。先规定一些基本规则（公理），然后在这个公理体系上开始进行演绎，最后如果整个体系不矛盾，就是“一套数学理论”。

有很多不同的数学理论，初中的实数代数只不过是最经典的一种。复数也是类似的数学体系，只不过复数是兼容实数体系的扩充体系。然后人们发现复数对于电路和物理（比如量子物理）很有用。

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广义相对论里面用到了非欧几何也是类似。

有数学家质疑欧式几何五大公理的第五条“过直线外一点有且只有一条平行线”（初中数学经典基础楼主还记得么）是不是冗余了。接着，人们发现如果规定“过直线外一点没有平行线”以及“过直线外一点有至少两条平行线”，也能演绎出和欧式几何不同的、自成体系的几何系统。刚发现这一点的时候，同时代的数学家都不可接受，后来虽然接受了但也是没用的数学玩具。

直到几百年后，爱因斯坦发现在广义相对论里面用非欧几何恰到好处。。。

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所以楼主的疑问很好解释：数学本就是先人为规定，演绎出很多不同的体系。随后可能在几百年后发现，它居然是有用的。

[ColorfulBoar]

这楼看着有点麻……

先说加法和乘法。这俩玩意跟运算规律一点关系都没有，或者说起码也是个本末倒置。加法（或者说 coproduct ）和乘法本质上是特殊的(co)limit ，而(co)limit 总是与其他的(co)limit/adjunction/...在特定条件下交换，这才成了最终被观察到的「运算规律」。特别地，标量和向量间的「乘法」最终归结于 monoidal category 里的那个"tensor product"，它不是传统意义上的 product ，满足的公理也是五角大楼……不对串味了……是五边形图表交换，而不是传统的(co)product 。「正确」的直觉乃是激发态与 domain wall 的融合：想象有堵墙，它就是向量，然后你往上面砸一种很均匀的屎，这就是标量和向量之间的「乘法」（以下省略乘法边上的「」），如果墙是虚空墙，那你把一坨屎挪到这个空气位置上假装这是个屎墙，然后往上继续砸，手感和你砸墙也没啥区别，这就是为啥有时候看起来标量乘法和它与向量的乘法有点像的原因（以上都可以严格证明，但在此省略一千页辅助材料）
绝大多数人看到的「抽象」代数，无非是魔法的余烬（ co-ash ）罢了

======分割线：所以 if err != nil 爱好们明白为什么和类型叫和类型，积类型叫积类型了嘛？明白之后就可以开始学习什么是 monad 啦======

所谓 v 和 w 的 cross product ，是这么个过程：
在可定向的伪黎曼几何上有切丛与余切丛间的 musical isomorphism （所谓的升降指标）最终使得
v,w 经过 musical isomorphism 从 1-vector 变成 1-form
n-form 和 m-form 间总有 wedge product ，结果是一个(n+m)-form （所以现在我们有了一个 2-form
这个 wedge product 经过 Hodge star 变回(d-2)-form ，刚好 d=3 ，所以它是 1-form
这个 1-form 经过 musical isomorphism 变回了 1-vector
这就是所谓的 corss product ，而最开始的定向（所谓的左右手）就是最后结果「人为」的地方，而不难发现，这里面最「刻意」的地方，在于一切只刚好对三维空间成立

[LiubaiQ]

额，我猜，大家是想说为了解决线性代数问题，所以引入了向量？不过，我找不到明显证据表明向量是研究线性代数的过程中诞生的。。。

[HeyWeGo]

关于虚数，我是看 B 站视频大概了解了它的发生过程，讲了虚数引入的历史。从中也更加深刻的认识了一句话”人们只能想想出他认知范围内的东西“。https://www.bilibili.com/video/BV1C4411W7vq

数学作为爱好，真的挺神奇的和代码很像

前人的结论就像代码里的历史包袱，后面的结论需要与之兼容又寻求突破。

[ipwx]

@LiubaiQ 你这说法我怎么觉得就像问“先有鸡还是先有蛋”呢？为啥就不能是鸡和蛋是一段漫长的共同演化历史呢？

[andyJado]

@James369 妈耶

如果向量是标量

该怎么区分

a 指向 b 和 b 指向 a

在此假设下就需要另外一个量去描述这个事情:

“是谁指向了谁”

正负号恰好能够代码复用

[zzzsy]

可以看一下 Linear Algebra Done Right

[LiubaiQ]

@ipwx 额，你指的是哪条回复，我同意数学概念和实际应用辗转向前发展，不过我应该没说什么与这个矛盾的发言吧。。。

[ipwx]

@LiubaiQ "为了解决线性代数问题，所以引入了向量？不过，我找不到明显证据表明向量是研究线性代数的过程中诞生的。。。"

没啥，只是稍微表达了一点我的看法。

[LiubaiQ]

@ipwx 额，是这样的，这个其实是我对楼上多人推荐 OP 去线代里学习向量的原因的推测，而我不同意这个看法，原因就是线代教材几乎不讲向量，只把向量作为学习者默认掌握的内容，从而作为工具直接引入并使用，而 OP 很明显是不了解向量概念定义，所以我推荐他去看同济版高数下专门介绍向量的章节。

[xuqiccr]

@dddd1919 #9 哈哈哈哈草 本塞尔达玩家突然学到了个知识点

[ipwx]

@LiubaiQ 线性代数的教学有个很大的矛盾点，特别是国内工科只有一个学期学的前提（又用不上

那就是，如果不先把这种形式和计算方法给你写出来，你根本无法阅读线性代数的应用内容；可是没有应用内容的支撑，你又根本无法理解形式化的线性代数。所以其实线性代数是很难教的。

我当年本科就被线性代数教材带得一点都不会。直到后来接触了泛函分析被虐了一遍，被机器学习虐了一遍。但是后面两门学科，泛函分析是线性代数去掉乱七八糟的计算和细节概念直接抽象化（反而能领会精髓），机器学习教材让你实际运用抽象的线性代数形成具体的感觉。这样反过来我才学懂了线性代数。

[ipwx]

其实某种意义上线性代数的精髓可以概括为：

R^n 实数上的线性空间分析。。。

[ipwx]

“R^n 实数上的线性空间分析” 这句话可以立刻让它和很多数学分支形成联系。举个例子：

把 R^n 实数空间换成别的空间，函数空间（泛函分析）。所谓的特征向量其实是实数空间上的正交基，换成函数空间，那么傅里叶级数每一项其实都是正交函数基。傅里叶系数又和线性代数的特征值有很强的关联。。。反正一下就串起来了。

[yyfearth]

@Jooooooooo 我就是想说 群论 来着 但是怕楼主听的更懵了

@ipwx 数学就是一个逻辑自洽的工具 也没有用不知道
然后物理就去数学里面找工具 然后套用一下 看看能不能解释一些现象
如果能解释 就可以成为一个理论 也就不用太担心逻辑上的问题

[yyfearth]

@James369 你懂编程的话 就更好理解了
群论 就是一个 集合 加上 这个集合的运算和公理
传统的代数 集合一般来说就是实数 然后有 加减乘除乘方开方这些运算 和一大堆的定律公理
向量 的集合就是所有带方向的数 然后向量加乘这些运算和公理

你可以从编程理解 就是一个数据结构或者类 然后对应的一些方法来运算或者判断
不同数据结构那么运算或者判断的方法自然就很可能不一样
只不过你可以取同样的名字 然后加上 运算符重载
比如 v1 = new Vector(2,1, 0)； v2 = new Vector(3, 0, 1); v3 = v1.add(v2); 或者符号重载 v3 = v1 + v2
v3 = v1 + v2 虽然看上去和数字的加法一样 但是完全不同
n1 = 1; n2 = 2.2; n3 = n1 + n3