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23 天前
回复了 Persimmon08 创建的主题 OpenAI 这个问题,大家的 GPT 都能答对吗?
@Claude-3-Opus 请比较上面三种不同的解法


Claude-3-Opus:

上述三种解法虽然细节略有不同,但整体思路是一致的。它们都分别计算了 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

对于 x 趋近于 0 的情况,三种解法都使用了变量替换 t = 1/x,将原问题转化为求 lim(t→∞) ln(1+t)/t 的极限。然后都运用了洛必达法则,对分子分母分别求导,得出极限为 0 。

对于 x 趋近于正无穷的情况,我的解法和 Gemini-1.5-Pro 的解法思路非常相似,都是通过变量替换 t = 1/x 将问题转化为 lim(t→0) ln(1+t)/t,然后利用重要极限 lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e 求得极限为 ln(e) = 1 。

GPT-4 的解法在处理 x 趋近于正无穷时略有不同。它先将 ln(1+1/x) 进行泰勒展开,然后再求极限。这种方法虽然合理,但相比其他两种解法略显复杂。

总的来说,三种解法殊途同归,都正确地求出了所需的极限。我和 Gemini-1.5-Pro 的解法更简洁直观一些。但 GPT-4 给出了一种不同的思路,这对拓宽我们的思维方式也有帮助。
23 天前
回复了 Persimmon08 创建的主题 OpenAI 这个问题,大家的 GPT 都能答对吗?
Gemini-1.5-Pro

好的,我来独立解决这个问题。

分析:
我们需要分别计算 $y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x$ 趋近于 0 和正无穷时的极限。

当 x 趋近于 0 时:
变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$,则当 $x$ 趋近于 0 时,$t$ 趋近于正无穷。原式变为:
lim



0

ln

(
1
+
1

)
=
lim




ln

(
1
+

)

lim
x→0

xln(1+
x
1

)=lim
t→∞


t
ln(1+t)



洛必达法则: 由于 $\lim_{t \to \infty} \ln(1+t) = \infty$ 且 $\lim_{t \to \infty} t = \infty$,我们可以应用洛必达法则:
lim




ln

(
1
+

)

=
lim




1
1
+

1
=
lim




1
1
+

=
0
lim
t→∞


t
ln(1+t)

=lim
t→∞


1
1+t
1



=lim
t→∞


1+t
1

=0

因此,当 $x$ 趋近于 0 时,$y$ 的极限为 0 。

当 x 趋近于正无穷时:
变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$,则当 $x$ 趋近于正无穷时,$t$ 趋近于 0 。原式变为:
lim





ln

(
1
+
1

)
=
lim



0
ln

(
1
+

)

lim
x→∞

xln(1+
x
1

)=lim
t→0


t
ln(1+t)



重要极限: 我们知道 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$,因此:
lim



0
ln

(
1
+

)

=
ln

(
lim



0
(
1
+

)
1

)
=
ln

(

)
=
1
lim
t→0


t
ln(1+t)

=ln(lim
t→0

(1+t)
t
1


)=ln(e)=1

因此,当 $x$ 趋近于正无穷时,$y$ 的极限为 1 。

结论:
当 $x$ 趋近于 0 时,$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 0 。
当 $x$ 趋近于正无穷时,$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 1 。
23 天前
回复了 Persimmon08 创建的主题 OpenAI 这个问题,大家的 GPT 都能答对吗?
Claude-3-Opus:

好的,我们来解决这个问题。我们需要分别计算 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

第一步:当 x 趋近于 0 时。

令 t = 1/x,则当 x 趋近于 0 时,t 趋近于正无穷。
原式可以写成:
lim(x→0) x ln(1+1/x) = lim(t→∞) ln(1+t)/t

使用洛必达法则,对分子和分母分别求导:
(ln(1+t))' / t' = 1/(1+t) / 1 = 1/(1+t)

当 t 趋近于正无穷时,1/(1+t) 趋近于 0 。
所以,lim(x→0) x ln(1+1/x) = 0

第二步:当 x 趋近于正无穷时。

lim(x→∞) x ln(1+1/x) = lim(x→∞) ln((1+1/x)^x)

令 t = 1/x,则当 x 趋近于正无穷时,t 趋近于 0 。
(1+1/x)^x = (1+t)^(1/t)

当 t 趋近于 0 时,(1+t)^(1/t) 趋近于 e 。
所以,lim(x→∞) x ln(1+1/x) = ln(e) = 1

综上所述:

当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 0 。
当 x 趋近于正无穷时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 1 。
--------------------------------------------------------------------------------------
GPT-4:

要解决这个问题,我们需要找到函数

=

ln

(
1
+
1

)
y=xln(1+
x
1

) 当

x 趋近于 0 和正无穷时的极限。我们将分步来解决这个问题。



x 趋近于 0 时
首先,我们可以通过变量替换来简化极限。令

=
1

t=
x
1

,则当

x 趋近于 0 时,

t 趋近于正无穷。原函数变为:


=

ln

(
1
+
1

)
=
1

ln

(
1
+

)
y=xln(1+
x
1

)=
t
1

ln(1+t)
我们需要求解的极限变为:

lim




ln

(
1
+

)

t→∞
lim


t
ln(1+t)


利用洛必达法则,我们可以对分子和分母分别求导:

lim




ln

(
1
+

)

=
lim







(
ln

(
1
+

)
)



(

)
=
lim




1
1
+

1
=
lim




1
1
+

=
0
t→∞
lim


t
ln(1+t)

=
t→∞
lim


dt
d

(t)
dt
d

(ln(1+t))

=
t→∞
lim


1
1+t
1



=
t→∞
lim


1+t
1

=0
因此当

x 趋近于 0 时,

=

ln

(
1
+
1

)
y=xln(1+
x
1

) 的极限为 0 。



x 趋近于正无穷时
现在考虑

x 趋近于正无穷的情况。原函数仍为:


=

ln

(
1
+
1

)
y=xln(1+
x
1

)
我们可以将
ln

(
1
+
1

)
ln(1+
x
1

) 进行泰勒展开:

ln

(
1
+
1

)

1


1
2

2
+

(
1

3
)
ln(1+
x
1

)≈
x
1


2x
2

1

+O(
x
3

1

)
所以,原函数可近似为:




(
1


1
2

2
)
=
1

1
2

y≈x(
x
1


2x
2

1

)=1−
2x
1




x 趋近于正无穷时,
1
2

2x
1

趋近于 0 ,因此:



1

1
2


1
y≈1−
2x
1

→1
所以当

x 趋近于正无穷时,

=

ln

(
1
+
1

)
y=xln(1+
x
1

) 的极限为 1 。

结论


x 趋近于 0 时,极限为 0 。


x 趋近于正无穷时,极限为 1 。
29 天前
回复了 cryboy007 创建的主题 投资 炒股风波
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