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zungmou
V2EX  ›  数学

一道 6-7 年级奥数题

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  •   zungmou · 170 天前 · 2539 次点击
    这是一个创建于 170 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    小智在镇上四处抓宝可梦。每天,他可以向他的收藏中添加 3 只、4 只或 5 只宝可梦,但他不能在连续的两天内添加相同数量的宝可梦。要让他恰好收集到 100 只宝可梦,最少需要多少天?
    26 条回复    2024-06-05 12:33:55 +08:00
    intoext
        1
    intoext  
       170 天前
    54545454…… 这样不行么?
    intoext
        2
    intoext  
       170 天前   ❤️ 1
    到 90 的时候还有 10 ,那就……343
    Sawyerhou
        3
    Sawyerhou  
       170 天前 via Android
    72+24+4
    23 天?
    sweetcola
        4
    sweetcola  
       170 天前   ❤️ 3
    5, 4, 3 两两组合得出 9, 8, 7
    9 * 10 + 7 + 3 = 100 得出 23 天
    5 和 4 循环刚好超出 100 也是最少也要 23 天(这能算证明吗- -)
    DeWjjj
        5
    DeWjjj  
       170 天前
    54 肯定会是最快的,54 超过 100 是 23 天。
    那么 345 组合最好也就是 23 天。因为本质是 54 方式通过减少某次加法变成 3 。
    cxwave
        6
    cxwave  
       170 天前 via Android
    上面回复全是错的,我是数学爱好者。注意审题,“恰好收集到 100 只宝可梦”,回复不能贴公式,直接穷举序列 3+4+5 到=96 ,是 24 天,然后在加 4 ,就是 25 。这个序列排序方式是唯一“恰好 100 只的序列”,所以最少 25 天。
    Aaarnold
        7
    Aaarnold  
       170 天前
    @cxwave 54545454545454545454343 ,这个是几天呢
    cloudzhou
        8
    cloudzhou  
       170 天前
    @Aaarnold
    @intoext
    虽然看起来是对的,但是如怎么证明对的呢?如果不是 100 而是 101 呢?就是任意的 x y z 以及结果 N
    cloudzhou
        9
    cloudzhou  
       170 天前
    @sweetcola 你这个用两两组合非常有意思,思路新颖
    cxwave
        10
    cxwave  
       170 天前 via Android
    @Aaarnold 你说得对,两种答案不能同时都是正确的,因为它们给出的天数不同。我们需要仔细核查和澄清哪种方法是正确的。

    1. **数字序列 `54545454545454545454343`**:
    - 这个序列包含 23 天。
    - 每天添加的宝可梦数量是 5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、5 、4 、3 、4 、3 。
    - 总数是 100 只宝可梦。
    - 符合每天添加的数量为 3 、4 或 5 只宝可梦且不连续两天相同。

    2. **动态规划解法**:
    - 动态规划计算的结果是最少需要 25 天。

    显然,23 天和 25 天不能同时是最少天数。因此,我们需要验证哪种方法给出的答案是正确的。

    ### 验证数字序列方法

    我们可以简单地通过手工计算验证数字序列是否满足条件:

    - 序列:`54545454545454545454343`
    - 长度:23 天
    - 每天添加的数量均为 3 、4 或 5 。
    - 没有连续两天添加相同的数量。
    - 总数:5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 3 + 4 + 3 = 100 。

    ### 验证动态规划解法

    重新审视动态规划解法的代码和逻辑:

    ```
    ### 结论

    经过验证:

    - 序列 `54545454545454545454343` 确实在 23 天内满足条件。
    - 动态规划解法得出的 25 天也是正确的,但不是最优解。

    因此,**正确的最少天数是 23 天**
    cxwave
        11
    cxwave  
       170 天前 via Android
    一开始我的直觉也想的 54 ,不过呢我的错误是复杂化了,我想出题人不可能把题目出的这么简单。结果他就是这么简单,gpt 看样子还是蠢的。
    geelaw
        12
    geelaw  
       169 天前 via iPhone   ❤️ 1
    证明:设 S=x(1)+…+x(n) 则
    2S = x(1)+x(n) + (x(1)+x(2)) + (x(2)+x(3)) + … + (x(n-1)+x(n)) <= x(1)+x(n) + 9(n-1) <= 10+9(n-1)
    于是 n >= (2*100-10)/9+1 = 22.(1) 于是 n >= 23 。

    注意到 (5+4)*10+3+4+3 = 100 且正好是 23 个来自 {3,4,5} 的相邻不同的加数。
    geelaw
        13
    geelaw  
       169 天前 via iPhone
    @cxwave #10 我无法想象怎么动态规划能得到 25 天的答案,请不要相信 LLM 生成的胡言乱语。提示:令 f(n,m) 为和为 n 且最后一个加数是 m 时最少需要的加数个数。
    Tink
        14
    Tink  
       169 天前
    @cxwave #6 请不要直接贴 gpt 的回复
    zapper
        15
    zapper  
       169 天前
    @cxwave #10 https://v2ex.com/about 请不要把 AI 生成的内容发送到这里
    yuhr123
        16
    yuhr123  
       169 天前
    Llama3 70B:

    这是一个有趣的问题!😊

    让我们分析一下小智每天可以添加的宝可梦数量:

    * 3 只、4 只或 5 只

    我们可以尝试找到一个模式,使小智恰好收集到 100 只宝可梦。

    首先,我们可以找到一个循环模式,使小智每天添加的宝可梦数量不同:

    Day 1: +3
    Day 2: +4
    Day 3: +5
    Day 4: +3
    Day 5: +4
    ...

    这个循环模式可以重复,直到小智收集到 100 只宝可梦。

    现在,让我们计算小智需要多少天来收集 100 只宝可梦:

    3 + 4 + 5 = 12
    12 × 8 = 96
    还差 4 只,所以下一天小智需要添加 4 只宝可梦。

    因此,小智至少需要 25 天来收集 100 只宝可梦。

    Deepseek-v2 Q4:

    首先,我们需要考虑小智每天捕捉宝可梦的可能性。由于他不能在连续的两天内捕捉相同数量的宝可梦,我们可以将这个问题分为几个部分来解决:

    - **如果小智每天都捕捉 3 只宝可梦**,那么他需要的天数是 100/3=33.33 天(向上取整到最接近的整数)。这意味着他至少需要 34 天才能捕捉到 100 只宝可梦。

    - **如果小智每天都捕捉 4 只宝可梦**,那么他需要的天数是 100/4=25 天。在这种情况下,他不需要 34 天。

    - **如果小智每天都捕捉 5 只宝可梦**,由于这个数量超过了每天可能的捕捉上限(最多 4 只),因此这种情况不可行。

    现在,我们需要计算哪种情况最少需要的天数。显然,每天捕捉 4 只宝可梦的情况所需的天数最少,因为它少于 34 天。所以:

    - 小智至少需要 25 天才能捕捉到 100 只宝可梦。
    cxwave
        17
    cxwave  
       169 天前 via Android
    @geelaw 正确的
    Aaarnold
        18
    Aaarnold  
       169 天前
    @cxwave 倒是也不用吧 ai 生成的内容粘贴出来回复我,我需要我会自己去问 ai 的
    Aaarnold
        19
    Aaarnold  
       169 天前
    @cloudzhou 我没有在证明 23 是对的,我只是在回复我回复的楼主,对他的答案提出一个反例罢了,简而言之就是单纯杠一下😂
    workingpad2
        20
    workingpad2  
       169 天前
    这能是奥数题?奥数里面送分的吧..
    itskingname
        21
    itskingname  
       169 天前
    这不就是算法里面经典的上楼梯问题吗?每步可以上 3 、4 或 5 级台阶,要上 100 级台阶最少要走几步。倒着算就好了。
    mpfeitech7416
        22
    mpfeitech7416  
       169 天前
    private static int minDaysToCollect100Pokemons() {
    int[][] dp = new int[101][6];
    for (int[] row : dp) {
    Arrays.fill(row, INF);
    }

    // 初始化状态
    dp[0][3] = dp[0][4] = dp[0][5] = 0;

    // 填充 DP 表
    for (int i = 0; i <= 100; i++) {
    for (int last : new int[]{3, 4, 5}) {
    if (dp[i][last] != INF) {
    if (i + 3 <= 100 && last != 3) {
    dp[i + 3][3] = Math.min(dp[i + 3][3], dp[i][last] + 1);
    }
    if (i + 4 <= 100 && last != 4) {
    dp[i + 4][4] = Math.min(dp[i + 4][4], dp[i][last] + 1);
    }
    if (i + 5 <= 100 && last != 5) {
    dp[i + 5][5] = Math.min(dp[i + 5][5], dp[i][last] + 1);
    }
    }
    }
    }
    return Math.min(dp[100][3], Math.min(dp[100][4], dp[100][5]));
    }
    BeforeTooLate
        23
    BeforeTooLate  
       169 天前
    @cxwave #6 哈哈,你得思路清奇,建议再想想。
    BeforeTooLate
        24
    BeforeTooLate  
       169 天前
    @workingpad2 小学奥数啊,你小学得时候看到题目不一定觉得简单
    yishengyongyi
        25
    yishengyongyi  
       169 天前
    难道不是 23 么
    cloudzhou
        26
    cloudzhou  
       169 天前
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