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x97bgt
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一道贝叶斯概率题

  •  
  •   x97bgt · 2022-02-25 22:39:54 +08:00 · 2069 次点击
    这是一个创建于 992 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    设桌子长度为 1 (想象为一条线),上面有一个小点,可能在 0, 1/3, 2/3, 1 处(不知道具体位置)。我们滚动小球,它会以等概率停在桌子的任意点,但同样不知道球的位置,只能知道球在点的左边还是右边(不会重合)。

    这里取的先验分布是小点以等概率分布在 0, 1/3, 2/3, 1 处。现在反复滚 n 次球,有 x 次在点右边,有 n-x 次在点左边。

    现在想知道,这个点在每个位置的概率分别是多少?

    (可以用 B_i 表示小点在 i/3 处,用 A=1 和 A=0 表示球在点的右 /左边,p=x/n )

    我自己苦思冥想没搞懂,最后算出来的概率总和竟然不是 1 。

    第 1 条附言  ·  2022-02-25 23:28:15 +08:00
    7 楼貌似是对的解法。

    还有一个没太大搞明白的点是,假设小点在 1/3 ,当 n 接近无穷时,为啥 x/n 会按比例接近 1/3 ?直觉上可以理解,但感觉无法用定理表达出来。
    20 条回复    2022-02-26 02:04:21 +08:00
    lance6716
        1
    lance6716  
       2022-02-25 22:43:45 +08:00 via Android
    是说小球始终只有一个起始位置,进行了 n 次重复实验吗
    x97bgt
        2
    x97bgt  
    OP
       2022-02-25 22:45:13 +08:00
    @lance6716 对。每次试验小球滚到的位置都不一样
    lance6716
        3
    lance6716  
       2022-02-25 22:58:36 +08:00 via Android
    这咋算

    A=0|B_i 是二项分布( n ,i/3 ),乘 P ( B_i )求和能得到 P ( A=0 ),其中有 P ( B0 )等 4 个未知量其中三个线性无关,i 不知能不能消掉。手机打字不易

    不如直接算个假设检验😂
    x97bgt
        4
    x97bgt  
    OP
       2022-02-25 23:06:26 +08:00
    @lance6716 这里要涉及二项分布吗?

    我们要求的应该是 `P( B_i | 概率 x/n 落在右边)` 这个概率吧?

    我隐约感觉只要利用好 p=x/n 这个概率就可以了,但我不知道咋算。。。
    x97bgt
        5
    x97bgt  
    OP
       2022-02-25 23:07:17 +08:00
    @lance6716 现在想想,貌似不需要用到 A=1 和 A=0 这个符号?
    lance6716
        6
    lance6716  
       2022-02-25 23:12:32 +08:00 via Android
    如果是第一次 A 的结果、第二次 A 的结果…这样还可以不断修正先验。如果直接得到 n 和 p 的话就不会算了😂
    chenzhekl
        7
    chenzhekl  
       2022-02-25 23:16:06 +08:00 via Android
    设点的位置为 X ,由题知 P(X=0)=P(X=1/3)=P(X=2/3)=P(X=1)=1/4 。

    再设 Y 为 n 次试验下小球在点右边的次数,由题可知(不妨设球与点重合时,视作在点右侧):
    1. P(Y=x | X=0)=1 当且仅当 x=N ,否则为 0 ,
    2. P(Y=x | X=1/3)=C(n,x)(2/3)^x(1/3)^{n-x},
    3. P(Y=x | X=2/3)=C(n,x)(1/3)^x(2/3)^{n-x},
    4. P(Y=x | X=1)=0 。

    那么,由贝叶斯定理,P(X=k | Y=x)=P(Y=x | X=k)P(X=k)/P(Y=x)=P(Y=x | X=k)P(X=k)
    lance6716
        8
    lance6716  
       2022-02-25 23:16:10 +08:00 via Android
    n 和 x 。
    感觉可以假设给定 n 和 x 的每种 A 的历史是等概率的,然后按照每种历史迭代、取个平均值。看看这个怎么化简。

    概率论结课已经七年了,等一个在读大佬😂
    chenzhekl
        9
    chenzhekl  
       2022-02-25 23:16:33 +08:00 via Android
    手机打字太困难了,剩下的自己算吧。。。
    x97bgt
        10
    x97bgt  
    OP
       2022-02-25 23:22:10 +08:00
    @chenzhekl 你这个貌似是对的。代进 n=1, Y=1 算,X=0 是 1/2 。
    lance6716
        11
    lance6716  
       2022-02-25 23:22:17 +08:00 via Android
    #7
    我悟了,既然不知道 n 次里面哪些是 x ,只能这 n 次之中就不迭代先验了,直接把 1/4 的等概率套进去算
    x97bgt
        12
    x97bgt  
    OP
       2022-02-25 23:25:44 +08:00
    @chenzhekl @lance6716

    我之前一直只用 p=x/n 去算,结果陷入无趣了。

    不过如果 x 和 n 不知道,只知道 p=x/n (同时 n 是一个不太大的数,不接近无穷)。这样能算出来概率么?貌似算不出来的样子。
    lance6716
        13
    lance6716  
       2022-02-25 23:28:09 +08:00 via Android
    @x97bgt 这要化简看看了,等下一次摸鱼时间着
    x97bgt
        14
    x97bgt  
    OP
       2022-02-25 23:44:49 +08:00 via iPhone
    @lance6716 @chenzhekl

    另外,比如点在 1/3 ,如果试验次数 n 接近无穷,那 x/n 也接近 1/3 ,此时 P(点在 1/3 处)应该等于 1 (直觉上)。

    所以应该有 x/n 越接近 1/3 ,P(点在 1/3 处)越大。

    尚且不知道怎么证明,但感觉很神奇。
    lance6716
        15
    lance6716  
       2022-02-26 00:10:01 +08:00 via Android
    答案还挺简洁

    wormtooth
        16
    wormtooth  
       2022-02-26 00:47:28 +08:00
    @chenzhekl

    对 7 楼的一点补充。我们约定如果 x=0 ,0^x = 1 ,对于 x>0 ,0^x=0. 那么
    P(Y=x|X=0) = 0^{n-x}
    P(Y=x|X=1/3) = C(n,x)(2/3)^x(1/3)^{n-x}
    P(Y=x|X=2/3) = C(n,x)(1/3)^x(2/3)^{n-x}
    P(Y=x|X=1) = 0^x

    我们要先算出
    P(Y=x) = P(Y=x|X=0)P(X=0) + P(Y=x|X=1/3)P(X=1/3) + P(Y=x|X=2/3)P(X=2/3) + P(Y=x|X=1)P(X=1)
    然后再用贝叶斯:
    P(X=k|Y=x) = P(Y=x|X=k)P(X=k) / P(Y=x)
    wormtooth
        17
    wormtooth  
       2022-02-26 00:54:39 +08:00
    @x97bgt 14 楼

    x/n 越接近 1/3 ,P(X=2/3|Y=x)越接近 1 才对,不是 X=1/3 。因为 x 是出现在点右边的次数。

    如果 x/n 接近 1/3 ,那么不妨假设 x 和 n-x 都不是 0 ,这时
    P(X=2/3|Y=x) = 1/(1+2^(2x-n))
    如果 x/n 接近 1/3 ,那么 2x-n 接近-x ,当 n 趋于无穷是,x 也趋于无穷,所以 P(X=2/3|Y=x)趋于 1 。
    Xs0ul
        18
    Xs0ul  
       2022-02-26 01:29:37 +08:00
    对于 0 和 1/3 ,先验里它们概率一样,观测时也无法区分(都是左边),那他们的后验概率也应该一致吧?只要算左右再平分就好
    Xs0ul
        19
    Xs0ul  
       2022-02-26 01:31:48 +08:00
    感觉是我理解错题意了,这么化简不对
    ignor
        20
    ignor  
       2022-02-26 02:04:21 +08:00 via Android
    不是很懂…n 次 x 次什么的不是样本吗?根据样本只能估计出概率吧,怎么还能算出来的
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