设桌子长度为 1 (想象为一条线),上面有一个小点,可能在 0, 1/3, 2/3, 1 处(不知道具体位置)。我们滚动小球,它会以等概率停在桌子的任意点,但同样不知道球的位置,只能知道球在点的左边还是右边(不会重合)。
这里取的先验分布是小点以等概率分布在 0, 1/3, 2/3, 1 处。现在反复滚 n 次球,有 x 次在点右边,有 n-x 次在点左边。
现在想知道,这个点在每个位置的概率分别是多少?
(可以用 B_i 表示小点在 i/3 处,用 A=1 和 A=0 表示球在点的右 /左边,p=x/n )
我自己苦思冥想没搞懂,最后算出来的概率总和竟然不是 1 。
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lance6716 2022-02-25 22:43:45 +08:00 via Android
是说小球始终只有一个起始位置,进行了 n 次重复实验吗
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lance6716 2022-02-25 22:58:36 +08:00 via Android
这咋算
A=0|B_i 是二项分布( n ,i/3 ),乘 P ( B_i )求和能得到 P ( A=0 ),其中有 P ( B0 )等 4 个未知量其中三个线性无关,i 不知能不能消掉。手机打字不易 不如直接算个假设检验😂 |
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x97bgt OP |
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lance6716 2022-02-25 23:12:32 +08:00 via Android
如果是第一次 A 的结果、第二次 A 的结果…这样还可以不断修正先验。如果直接得到 n 和 p 的话就不会算了😂
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chenzhekl 2022-02-25 23:16:06 +08:00 via Android
设点的位置为 X ,由题知 P(X=0)=P(X=1/3)=P(X=2/3)=P(X=1)=1/4 。
再设 Y 为 n 次试验下小球在点右边的次数,由题可知(不妨设球与点重合时,视作在点右侧): 1. P(Y=x | X=0)=1 当且仅当 x=N ,否则为 0 , 2. P(Y=x | X=1/3)=C(n,x)(2/3)^x(1/3)^{n-x}, 3. P(Y=x | X=2/3)=C(n,x)(1/3)^x(2/3)^{n-x}, 4. P(Y=x | X=1)=0 。 那么,由贝叶斯定理,P(X=k | Y=x)=P(Y=x | X=k)P(X=k)/P(Y=x)=P(Y=x | X=k)P(X=k) |
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lance6716 2022-02-25 23:16:10 +08:00 via Android
n 和 x 。
感觉可以假设给定 n 和 x 的每种 A 的历史是等概率的,然后按照每种历史迭代、取个平均值。看看这个怎么化简。 概率论结课已经七年了,等一个在读大佬😂 |
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chenzhekl 2022-02-25 23:16:33 +08:00 via Android
手机打字太困难了,剩下的自己算吧。。。
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lance6716 2022-02-25 23:22:17 +08:00 via Android
#7
我悟了,既然不知道 n 次里面哪些是 x ,只能这 n 次之中就不迭代先验了,直接把 1/4 的等概率套进去算 |
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x97bgt OP |
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x97bgt OP |
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lance6716 2022-02-26 00:10:01 +08:00 via Android
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wormtooth 2022-02-26 00:47:28 +08:00
@chenzhekl
对 7 楼的一点补充。我们约定如果 x=0 ,0^x = 1 ,对于 x>0 ,0^x=0. 那么 P(Y=x|X=0) = 0^{n-x} P(Y=x|X=1/3) = C(n,x)(2/3)^x(1/3)^{n-x} P(Y=x|X=2/3) = C(n,x)(1/3)^x(2/3)^{n-x} P(Y=x|X=1) = 0^x 我们要先算出 P(Y=x) = P(Y=x|X=0)P(X=0) + P(Y=x|X=1/3)P(X=1/3) + P(Y=x|X=2/3)P(X=2/3) + P(Y=x|X=1)P(X=1) 然后再用贝叶斯: P(X=k|Y=x) = P(Y=x|X=k)P(X=k) / P(Y=x) |
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wormtooth 2022-02-26 00:54:39 +08:00
@x97bgt 14 楼
x/n 越接近 1/3 ,P(X=2/3|Y=x)越接近 1 才对,不是 X=1/3 。因为 x 是出现在点右边的次数。 如果 x/n 接近 1/3 ,那么不妨假设 x 和 n-x 都不是 0 ,这时 P(X=2/3|Y=x) = 1/(1+2^(2x-n)) 如果 x/n 接近 1/3 ,那么 2x-n 接近-x ,当 n 趋于无穷是,x 也趋于无穷,所以 P(X=2/3|Y=x)趋于 1 。 |
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Xs0ul 2022-02-26 01:29:37 +08:00
对于 0 和 1/3 ,先验里它们概率一样,观测时也无法区分(都是左边),那他们的后验概率也应该一致吧?只要算左右再平分就好
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Xs0ul 2022-02-26 01:31:48 +08:00
感觉是我理解错题意了,这么化简不对
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ignor 2022-02-26 02:04:21 +08:00 via Android
不是很懂…n 次 x 次什么的不是样本吗?根据样本只能估计出概率吧,怎么还能算出来的
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